Le message de ce post est le suivant : Pour un electron, la Théorie de
De Broglie-Bohm est simplement un choix particulier de Jauge pour le groupe
d’invariance U (1) et dans ce cas l’onde pilote s’identifie avec le potentiel vecteur
de électromagnétisme.

Le groupe de Jauge U(1)

Écrivons l’équation de Schrödinger pour un electron avec le terme électromagnétique (avec e = h̄ = m = 1).

Cette équation est invariante par l’action du groupe de Jauge U (1). C’est à dire
qu’ avec le changement suivant

on retrouve l’équation de Schrödinger initiale

La mécanique Bohmienne

Pour obtenir la mécanique Bohmienne pour un électron, il suffit d’imposer la condition que ψ̂ est réelle. Sous cette condition on a

et on obtient une équation de continuité pour la densité de courant

Ici la densité de probabilité s’écoule le long des ligne du potentiel vecteur Â.
Celui ci cependant n’est pas fixe mais évolue avec le choix de Jauge. Cette image
est assez jolie : Par exemple pour une particule chargée dans un champs magnétique
puisque celle ci suit le vecteur potentiel et que B = rot( Â), la particule tourne
autour de l’axe du champs magnétique. Autre exemple, pour l’expérience de
Aharonov Bohm cela accentue encore la perspective : Le vecteur potentiel décrit
la dynamique de la particule mais est bien sur également sensible au champs
magnétique au centre de l’expérience.