Un peu de probabilité en arithmétique

Tous les élèves de lycée connaissent le théorème fondamental de l’arithmétique
à savoir que l’on peut décomposer tout entier n en produit de puissance de nom-
bre premiers

Ce que les lycéens n’apprennent pas par contre c’est “Comment choisir un entier
aléatoirement ?” Il est vrai qu’à première vue cette question semble ne pas avoir
de sens. D’un côté on peut arbitrairement construire une infinité de mesure de
probabilité mais par contre il n’existe pas de “loi uniforme” sur tous les entiers.
Le message de ce post est que malgré tout, si on veut faire de l’arithmétique,
une certaine famille de lois aléatoires est un peu préférables aux autres.

LES “LOIS ZETA”

La loi considérée est la suivante

où la fonction zêta de Riemann apparaît ici de tel sorte que la somme des
probabilités soit bien égale à 1. Sa propriété la plus remarquable est la suivante
Sous cette loi ci les valeurs p-adique de X sont indépendantes et de loi géométrique.

Il est possible de vérifier cette propriété directement par calcul mais je vais
plutôt présenter une analogie intéressante avec la physique statistique.
Sur les entiers on introduit le Hamiltonien définit simplement par le logarithme par et on considère l’ensemble canonique :

Cela redonne bien la loi précédente. On peut remarquer ici que H a
la forme d’une simple somme dans la décomposition en valeur p-adique. En physique on dirait qu’il n’y a pas d’interactions et donc que les sous systèmes associés à chaque valeur p-adique sont indépendants. On a aussi directement la factorisation de la loi et donc l’indépendance :


On peut calculer la fonction de partition du sous système associé au facteur
premier p :

Puisque les systèmes sont indépendants la fonction de partition du système
total est simplement le produit des fonctions de partition des sous systèmes.
On retrouve ici la forme du produit Eulérien pour la fonction zêta

Diviseur et PGCD

Une autre propriété remarquable est que pour la divisibilité, on a simplement

On peut également s’intéresser au PGCD de deux telles variables aléatoires in-
dépendantes X et Y de paramètre β et γ. Dans ce cas, le PGCD est alors aussi
une “loi zêta” de paramètre β + γ. Preuve : Chaque valeurs p-adiques restent indépendante et on a

Une dernière motivation que l’on peut mentionner est la limite lorsque β → 1.
L’heuristique est qu’elle devrait d’une certaine manière converger vers la “loi
uniforme sur tous les entiers”. Plus précisément, on aimerait pouvoir affirmer
qu’on obtient les mêmes asymptotiques que d’autres lois qui “convergent vers
la loi uniforme”, par exemple {1, 2, · · · , N } lorsque N → ∞, . Typiquement

Fonction multiplicative et indépendance

Comme autre exemple d’application de l’indépendance des valeurs p-adique pour les lois zêta, voici quelques formules assez surprenant lorsque l’on les voit pour la première fois.


où φ et µ sont les fonctions indicatrice d’Euler et de Möbius.
En arithmétique on appelle “fonction multiplicative” les fonction qui satisfont
f (pq) = f (p)*f (q) pour tout p, q premiers entre eux. Avec la décomposition en
facteurs premiers on a directement

Comme pour une loi zêta les valeurs p-adique sont indépendantes, on a alors directement

Pour la fonction de Möbius on a

et donc

Pour la fonction indicatrice d’Euler on a

et donc

 

Convolution de Dirichlet comme produit de variables indépendantes

Le produit de convolution de Dirichlet donne la loi de la multiplication z=xy de deux variables entières x et y indépendantes.

Par indépendance on a

ce qui se réécrit

Cette ”Transformé de Fourier” sur les entiers se comporte vis à vis de la convolution de Dirichlet de la même manière que la transformé de Fourier et convolution usuelles sur les fonctions réelles . Plus généralement on a pour le produit de convolution de Dirichlet

Épilogue

Je termine ce post par une remarque : Tout ce que a été fait ici utilise la
décomposition en nombre premier mais pas leurs valeurs particulières. On ne
donc pas utiliser ces outils pour estimer la répartition des nombres premiers…
à moins d’avoir d’autres moyen d’estimer la fonction ζ !

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