Une autre dessin pour la relativité générale ?

On a tous vu de nombreuse fois ces images pour illustrer les principes de relativité générale : la terre déforme l’espace-temps autour d’elle de la même manière qu’une boule de pétanque posée sur un drap élastique. L’analogie continue en ajoutant une petite bille dont la trajectoire est déviée, suivant la déformation du drap, lorsqu’elle passe à coté de la terre. C’est la gravitation.

Le but de ce poste est de proposer une autre image pour illustrer la théorie d’Einstein, un peu moins parlante mais plus fidèle d’un point de vue mathématique. De fait il est très difficile de dessiner la relativité générale. Il s’agit d’un espace courbé à 4 dimensions et l’équation possède 10 variables libres. Tout cela sera donc simplifier au maximum

L’équation d’Einstein

Une toupie Pour la dimension 1+1

Ici je me restreint à une dimension d’espace et à une dimension de temps (d=1+1). En dimension 2 ,il n’y a qu’un paramètre libre pour le tenseur de Riemann à savoir la K la courbure de Gauss et pour coller avec les équations d’Einstein on supposera que celle ci est proportionnelle à la densité de masse
Quel est alors l’influence d’une masse immobile dans l’espace que l’on nommera “terre”? Puisque l’on considère la dimension du temps, la terre n’est pas un point mais une droite en fixant le centre à 0 elle est décrite par T={(0,t),t ∈ R} .
La position de la terre décrite par x=0
La courbure est alors égale à m sur cette droite et nulle ailleurs. Paradoxalement le reste de l’espace est “plat” c’est à dire de courbure nulle. Si on cherche maintenant en géométrie une surface qui correspond on peux proposer une toupie formée de deux cônes identiques collés bout à bout.
La terre placée sur la couronne de la toupie représentant espace-temps.
En effet sur cette toupie la courbure vaut
 avec R le rayon du grand cercle au centre et α l’angle que forme les deux parties du cône au niveau de la couronne. Remarquer que la courbure sur chaque cône est bien nulle comme on peut l’aplatir sur une table. En oubliant les pointes on a ici une solution à notre équation d’Einstein 2D en faisant correspondre m ∼ 2α/R .
Concrètement une masse grande correspond à une toupie très aplatie et une petite masse correspond à une toupie très allongée jusqu’à la limite m=0 vers un cylindre (qui est une surface complètement plane.

Un exemple de dynamique

Maintenant que nous avons la géométrie (alias le champs de gravitation) nous pouvons nous intéresser à la dynamique. Regardons donc l’évolution d’une petite bille lâchée librement dans ce système. Il s’agit ici de tracer une géodésique sur la toupie. Pour cela il suffit de déplier le patron de la figure, la géodésique est alors une simple ligne droite.
Sur le patron de la toupie, la trajectoire de la bille partant de la terre puis retombant dessus.
En notant (r, θ ) la position sur le cône et R*=R/sin α le rayon du cône On obtient avec un peu de trigonométrie.
Si ce résultat n’est pas forcement très parlant on peut supposer R*-1t et β petits, faire un développement limité et le comparer avec le cas classique (accélération = g =constante)
et on peut donc bien identifier

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