La Température et le Théorème de Cramer

Lorsque l’on considère une sommes de variables indépendantes et identiquement distribuées, on pense d’abords à la loi des grands nombres puis au théorème centrale limite. En troisième position, bien que moins connus viennent les principes de grandes déviations qui affirment que la probabilité d’observer un écart significatif par rapport à la moyenne est exponentiellement petit. Les principes de grandes déviations sont également omniprésent en thermodynamique. Pour illustrer cela je refait ici pas à pas la démonstration du Théorème de Cramer.

Celle ci fait utilise plusieurs idées et notions qui ont leurs analogue en physique et que j’explicite ci dessous.

La borne supérieure et l’énergie libre

Par inégalité de Markov on a

et donc

Il convient ensuite de choisir le βE qui minimise le terme de droite pour obtenir la borne supérieure. Chaque terme ici a son importance et une signification physique. Je note

Quelques remarques :

  1. Boltzmann définit l’entropie comme kB log |Ω|. Ici on peut imaginer Ω comme un sous ensemble d’un plus grand ensemble Ω0 fixé et qu’il y a la probabilité associée  (Ω) = |Ω|/|Ω0|. La définition ci dessus = log (Ω) est alors essentiellement la même (aux constantes près).
  2. Le second principe de la thermodynamique : “le système maximise l’entropie” peut aussi être vu ici de manière quantitative comme “La probabilité d’observer un écart avec le maximum d’entropie est exponentiellement petite”.
  3. Le lien entre l’entropie et l’énergie libre via la transformé de Legendre apparait explicitement dans le Théorème de Cramer et on a bien la relation

La borne inférieure et la loi de Gibbs

L’idée ici consiste à modifier la loi aléatoire selon

avec une fonction positive. L’astuce ici est que les lois conditionnelles à la somme restent inchangées :

Ceci est bien sur une évidence mais cela signifie que si on s’intéresse à (X)i par exemple conditionnellement à ce que la somme soit égale à NE, on dispose d’une certaine liberté pour modifier la loi aléatoire. Un bon choix est alors

car alors les Xi restent alors des variables iid.

La deuxième astuce est de choisir β de telle sorte que pour cette nouvelle mesure, la moyenne de X soit égale à E. Cela correspond au même β βE que pour la borne supérieure. L’intérêt est qu’ici, par la loi des grand nombre, la somme des Xi  divisé par N converge vers E avec f-grande probabilité. On s’attend alors à ce que en conditionnant à l’égalité entre la somme et Non ne change pas trop la loi des (Xi):

D’un point de vue physique, ce changement de mesure de probabilité est ce qu’on appelle la distribution de Boltzmann (ou distribution de Gibbs). Cette dernière est omniprésente dans toute la physiques statistiques et décrit parfaitement le comportement de gaz ou de réactions chimiques. Elle peux même servir de définition à la notion de température : un système est à telle température ssi sa statistique obéit celle de Boltzmann avec le paramètre correspondant. Mathématiquement il semble que cela va beaucoup plus loin que juste la preuve du Théorème de Cramer et reflète quelque chose de plus fondamental à savoir comment est modifiée la loi de chacune des variables aléatoires lorsque l’on conditionne à un événement exceptionnel.

Si tout ceci n’est pas tout à fait rigoureux on a tout de même que

par le théorème centrale limite et que d’un autre coté

Ce qui termine la preuve de la borne inférieure.

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