Deux petits exemples en théorie des jeux

Je présente ici deux petits modèles de théorie des jeux que je trouve intéressant car ils mènent à des conclusions complètement contraire à ce qu’on aurait pu s’attendre à première vu.

Une route trop efficace qui mène à des embouteillages.

Une ville A est connectée à une ville C par deux routes, celle passant par B et celle passant par D. Chacune est composée de deux tronçons : une partie route de campagne  (trait plein) et une partie autoroute (pointillés) comme sur le schéma. Sur la route de campagne la vitesse est limité et le temps pour la parcourir est toujours le même 1 heure. Sur l’autoroute
on peut aller plus vite mais si il y a trop de monde, on doit ralentir à cause des bouchons. Pour la traverser, on met p heure où p entre 0 et 1 est la proportion de personnes circulant sur la route.

Les automobilistes cherchent toujours à mettre le moins de temps possible et choisiront une routes plus rapide si ils en ont l’occasion. Dans la situations présente si une proportion trop importante prennent la route, la deuxième devient plus rapide car moins fréquenté. Des automobilistes changeront alors de trajets les jours suivants. Les
fréquentations s’équilibrent avec la moitié des conducteurs sur chacune des routes. Au finals le temps pour aller de A à C sera 1+0,5=1,5.

Ajoutons maintenant une super-route entre B et D. Extrêmement rapide et sans bouchons, on peut la parcourir presque instantanément.

Dans cette nouvelle situation, les automobilistes peuvent si ils le souhaitent n’utiliser que des autoroutes et la super route. Comme c’est toujours le choix préférable, personne n’a intérêt à ne pas le faire. Au final tout le monde emprunte les autoroutes. Mais cela
provocant des embouteillages, le temps total est alors 2 heures qui est pire que la situation sans la super route.

Se mettre en difficulté est parfois préférable.

Ici c’est un simple jeux à deux joueurs Valérie et Thomas et qui se joue en un seul tour. Valérie commence et choisit entre deux possibilités a ou b, puis c’est au tour de Thomas de choisir entre deux possibilités X ou Y. C’est fini. Chacun des joueurs gagnent le nombre de point selon le tableau suivant.

Chaque joueur vise le plus de gain possible. Valérie est donc capable de prédire le coup de Thomas. Si elle joue a, Thomas aura intérêt à jouer X. Il gagnera alors 2 points et Valérie 4. Si maintenant Valérie joue b, alors elle doit s’attendre à ce que Thomas joue Y
avec pour résultat 2 point pour Valérie et 5 point pour Thomas. Pour Valérie, la meilleur stratégie est donc de choisir a. Résultat final : (4,2).

Changeons maintenant la grille de la manière suivante.

Remarquez que les score de Valérie n’ont pas changés, par contre quelque soit le résultat final Thomas gagne moins de point que la situation précédente.

Reprenons maintenant le jeu: Si Valérie joue a, Thomas choisira Y ce qui n’intéresse pas du tout Valérie. Elle jouera donc b en sachant que Thomas jouera Y. Ici le résultat final est (2,4). Mais alors Thomas gagne plus de points que précédemment.

Conclusion, bien que sur toutes les combinaisons possible le résultat de Thomas est inférieur dans le deuxième jeu que dans le premier, Thomas gagne plus de points dans le deuxième jeu.

La formule de la résolvante et un peu de théorie des perturbations

Formule de la résolvante

Soit A et B deux matrices, la formule de la résolvante est la relation algébrique suivante


Elle est également valables si A et B sont des opérateurs linéaires sur un espace de dimension infini. Si l’énoncé et la preuve sont élémentaires, cette formule peut se révéler incroyablement utile, en particulier pour faire des développements perturbatifs. On a en effet en réinjectant la formule dans son dernier terme :

et par itération on obtient le développement perturbatif suivant

Je donne ici quelques exemples d’application plus ou moins direct.

Le calcul perturbatif d’une valeur propre

Soit A une matrice ayant une valeur propre simple l(0) et B une autre matrice. On souhaiterai avoir le développement en série entière en t de l(t) la valeur propre
de A+t B. Pour cela on peut utiliser la formule de Cauchy


où on intègre sur un petit cercle dans le plan complexe autour de l(0) et alors, on peut utiliser le développement perturbatif. Par exemple avec A la matrice
diagonal lambda, le terme d’ordre 2 est donné par

Exemple 2 : Une variante du principe Huygens Fresnel.

Une source lumineuse en un point x émet une onde de fréquence w et se propage dans un milieu selon un opérateur H. La lumière F(y) en tout point y est alors donnée par

Imaginons que le milieu est composé d’un espace fermé munie d’une ouverture. Dans notre opérateur, H=A si l’ouverture B est fermée et A-B si l’ouverture est ouverte. Lors que l’ouverture est fermée et que y se trouve à l’extérieur par rapport à x aucune lumière n’est reçue. Alors la formule de la résolvante lorsque l’ouverture est ouverte

peut s’interpréter ainsi : “les points z de l’ouverture se comportent comme des sources lumineuses secondaires d’intensité et de phase données par la résolvante lorsque l’ouverture est fermée.”

Exemple 3 : les diagrammes de Feynman.

C’est très certainement l’exemple le plus célèbre et probablement le plus impressionnant d’utilisation de la théorie de perturbation en physique. L’évolution d’un système quantique est décrit par un Hamiltonien H et l’équation de Schrödinger idf(t)=Hf(t)dt qui donne formellement la solution exp(-itH)f(t=0). Il est intéressant d’en étudier la transformé de Fourier (Laplace)

  1. La recette pour les diagrammes de Feynman est la suivante: Le Hamiltonien se décompose en un terme d’évolution libre des particules A et un terme d’interaction B qui en théorie quantique des champs s’exprime comme la création et annihilation
    de particules. On supposera l’interaction B est petit et on fera
    le développement perturbatif.
  2. Pour les calculs on travaillera dans la base de Fourier dans laquelle les termes d’évolutions libre A est diagonal. Les termes d’interaction sont ponctuels (local), dans la base de Fourier ils s’expriment sous forme d’intégrale.

Exemple 1: Une désintégration en deux particules

On considère une particule de masse M au repos qui se désintègre en deux particules m1 et m2 de masses plus petites. Le terme d’ordre 1 fait apparaît l’élément

avec a,b,c: les opérateurs de création/annihilation des particules M, m1, et m2 d’impulsion k. Il se dessine avec le diagramme de Feynman suivant

et permet de calculer le taux de désintégration en choisissant z0=M+it.

Exemple 2 : La diffusion Compton

La diffusion Compton, c’est le choc entre un électron et un photon. Initialement, on a  un photon d’impulsion k0 et un électron d’impulsion p0. Faire le développement à l’ordre 2 donne 4 termes mais seuls les termes

et

sont pertinents où a et c sont des opérateurs de création/annihilation
de l’électron et du photon. Ils correspondent aux diagrammes de Feynman
suivant